Cet article wikipédia (en anglais) sur le sommeil profond unihémisphérique est assez détaillé.
https://en.wikipedia.org/wiki/Unihemisp ... wave_sleep Beaucoup d'oiseaux dorment en effet, en fonction du contexte, avec la moitié de leur cerveau pendant que l'autre moitié est éveillée.
L'hémisphère endormi en SWS (slow-wave sleep = sommeil profond) contrôle l’œil controlatéral (hémisphère droit -> œil gauche et vice versa) tout comme chez nous et (pour autant que je sache) tous les tétrapodes voire tous les vertébrés.
Quand un hémisphère est endormi, l’œil qu'il contrôle est fermé alors que l'autre reste ouvert car contrôlé par l'hémisphère éveillé.
Donc, effectivement, beaucoup d'oiseaux peuvent dormir d'un seul œil tout en restant vigilant et éveillé avec l'autre. Ils peuvent également vraisemblablement décider sciemment de dormir d'un côté ou de l'autre ou les deux en même temps, en fonction de la situation. Chez les oiseaux grégaires comme les canards, des chercheurs ont remarqué que ce sont les oiseaux situés en périphérie du groupe qui ne dorment que d'un seul œil (afin de rester vigilant en cas d'approche de prédateur) alors que les oiseaux au centre du groupe dormaient plus fréquemment avec les deux hémisphères en même temps, ce qui semble logique.
J'ignore si le sommeil unihémisphérique a été observé et existe chez les cygnes mais vu le grand nombre d'espèces d'oiseaux (et de mammifères) qui le pratiquent, on peut estimer sans trop prendre de risques que c'est le cas.
Il est intéressant de noter que même des oiseaux plutôt "élevés" dans la chaîne alimentaire pratiquent ce type de sommeil, comme le Faucon pèlerin. Cela peut s'observer en direct sur ce lien
http://www.fauconspourtous.be/cathedral ... livestream chez un faucon couvant ses œufs. Pendant qu'il couve, le parent s'endort sur ses œufs mais est fréquemment en sommeil unihémisphérique, un oeil ouvert et vigilant alors que l'autre dort tranquillement.
Edit: Je me rends compte que l'article de Oiseaux.net sur les canards mentionne également l'étude sur les canards qui dorment en périphérie du groupe.